Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

Обозначим середины сторон исходного четырёхугольника последовательно E, F, G, H. По теореме о средней линии треугольника стороны EFGH равны половинам диагоналей исходной фигуры: EF и GH — половины одной диагонали, а FG и HE — половины другой. Следовательно, если диагонали исходной фигуры равны, все четыре стороны EFGH равны.

1. а) Прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны. Поэтому все стороны EFGH равны, и EFGH — ромб.
2. б) Равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны. Поэтому все стороны EFGH равны, и EFGH — ромб.