269 Докажите, что ДАВС = ∆ А1В1С1, если ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B₁ и ВН = В₁Н1, где ВН и В₁Н₁ — высоты ДАВС И ДА1В1С1.

Доказательство:

Пусть даны треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, BH = B₁H₁.

1) Рассмотрим треугольники ABH и A₁B₁H₁. ∠AHB = ∠A₁H₁B₁ = 90° (так как BH и B₁H₁ — высоты), ∠A = ∠A₁ (по условию). Значит, треугольники ABH и A₁B₁H₁ подобны по двум углам.

2) Так как BH = B₁H₁, то треугольники ABH и A₁B₁H₁ не только подобны, но и равны (по катету и прилежащему острому углу).

3) Из равенства треугольников ABH и A₁B₁H₁ следует равенство сторон AB = A₁B₁.

4) Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам (по стороне AB = A₁B₁ и углам ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁).

Ответ: ДАВС = ∆ А1В1С1.