269 Докажите, что ДАВС = ∆A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B₁ и ВН = В₁Н₁, где ВН и В₁Н₁ — высоты ДАВС И ДА,В,С₁.

Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁. У них:

1. ∠А = ∠А₁ (по условию);
2. ∠В = ∠В₁ (по условию).

Сумма углов треугольника равна 180°.

Следовательно, ∠С = 180° - (∠А + ∠В), а ∠С₁ = 180° - (∠А₁ + ∠В₁).

Т.к. ∠А = ∠А₁ и ∠В = ∠В₁, то ∠С = ∠С₁.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АВН и А₁В₁Н₁. У них:

1. ВН = В₁Н₁ (по условию);
2. ∠А = ∠А₁ (по условию).

Значит, треугольники АВН и А₁В₁Н₁ равны по катету и прилежащему углу. Из равенства треугольников следует равенство сторон АВ и А₁В₁.

Следовательно, треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по стороне и двум прилежащим углам (АВ = А₁В₁, ∠А = ∠А₁, ∠В = ∠В₁).

Ответ: Доказано, что треугольники равны.