269 Докажите, что ДАВС = ∆AB₁С₁, если ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B₁ и ВН = В₁Н₁, где ВН и В₁Н, — высоты ДАВС и ДА,В,С1.

Ответ: Доказано, что ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и BH = B₁H₁.

Доказательство:

• Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁: ∠A = ∠A₁ (по условию), ∠B = ∠B₁ (по условию).
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠C = 180° - ∠A - ∠B и ∠C₁ = 180° - ∠A₁ - ∠B₁. Так как ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то ∠C = ∠C₁.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники ВНС и В₁Н₁С₁: ВН = В₁Н₁ (по условию), ∠C = ∠C₁, следовательно, ΔВНС = ΔВ₁Н₁С₁ по катету и прилежащему острому углу. Отсюда следует, что ВС = В₁С₁.
• Таким образом, в треугольниках ABC и A₁B₁C₁: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и BC = B₁C₁. Значит, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: Доказано, что ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, если ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и BH = B₁H₁.