159. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Пусть даны два равнобедренных треугольника ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ), где ( AB = BC ) и ( A_1B_1 = B_1C_1 ). Пусть ( AB = A_1B_1 ) и ( \angle B = \angle B_1 ). Так как треугольники равнобедренные, ( \angle A = \angle C = rac{180^\circ - \angle B}{2} ) и ( \angle A_1 = \angle C_1 = rac{180^\circ - \angle B_1}{2} ). Поскольку ( \angle B = \angle B_1 ), то ( \angle A = \angle A_1 ) и ( \angle C = \angle C_1 ). Таким образом, ( AB = A_1B_1 ), ( \angle A = \angle A_1 ) и ( \angle B = \angle B_1 ). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольники ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ) равны. Доказано.