160. Прямая a проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему. Доказать, что: а) каждая точка прямой a равноудалена от A и B; б) каждая точка, равноудалённая от A и B, лежит на прямой a.

a) Пусть ( M ) - любая точка на прямой ( a ), проходящей через середину ( O ) отрезка ( AB ) и перпендикулярной к нему. Треугольники ( AOM ) и ( BOM ) прямоугольные, ( AO = BO ) и ( MO ) - общая сторона. Следовательно, ( \triangle AOM = \triangle BOM ) по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что ( AM = BM ), то есть точка ( M ) равноудалена от точек ( A ) и ( B ). b) Пусть точка ( N ) равноудалена от ( A ) и ( B ), то есть ( AN = BN ). Рассмотрим треугольник ( ABN ). Так как ( AN = BN ), то треугольник ( ABN ) равнобедренный. Пусть ( O ) - середина ( AB ). Тогда ( NO ) - медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, а значит, является и высотой. Следовательно, ( NO \perp AB ). Таким образом, точка ( N ) лежит на прямой, проходящей через середину ( AB ) и перпендикулярной к ( AB ), то есть на прямой ( a ).