138 Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство:

1. Пусть в треугольнике ABC биссектриса AD является также и высотой. Это означает, что AD ⊥ BC и ∠BAD = ∠CAD.
2. Рассмотрим треугольники ABD и ACD:
3. AD - общая сторона.
4. ∠BAD = ∠CAD (по условию, так как AD - биссектриса).
5. ∠ADB = ∠ADC = 90° (по условию, так как AD - высота).
6. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по стороне (AD) и двум прилежащим к ней углам (∠BAD = ∠CAD и ∠ADB = ∠ADC).
7. Из равенства треугольников следует, что AB = AC.
8. Таким образом, треугольник ABC, у которого AB = AC, является равнобедренным.

Ответ: если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный. (доказано).