137 Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках Ми №. Докажите, что треугольник АММ - равнобедренный.

Пусть дан угол ∠A, биссектриса которого пересекает прямую MN, перпендикулярную к биссектрисе угла A в точке O. Необходимо доказать, что треугольник AMN равнобедренный.

1. Рассмотрим треугольники ΔAMO и ΔANO:
   • AO — общая сторона;
   • ∠MAO = ∠NAO, так как AO — биссектриса ∠A;
   • ∠AOM = ∠AON = 90°, так как MN перпендикулярна биссектрисе.
2. Следовательно, ΔAMO = ΔANO по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что AM = AN, а значит, ΔAMN — равнобедренный.

Ответ: Треугольник AMN - равнобедренный (доказано).