Докажите, что если биссектриса внешнего угла параллельна одной из его сторон, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC проведена биссектриса CD внешнего угла при вершине C. Пусть CD || AB.

1. Пусть \(\angle ACD = \angle BCD \) (так как CD - биссектриса внешнего угла).
2. Внешний угол при вершине C равен сумме двух других углов треугольника: \(\angle ACD + \angle BCD = \angle A + \angle B \).
3. Так как \(\angle ACD = \angle BCD \), то \( 2 \angle BCD = \angle A + \angle B \).
4. По условию, CD || AB.
5. Рассмотрим секущую BC. Тогда \(\angle BCD = \angle ABC = \angle B \) (как накрест лежащие углы).
6. Рассмотрим секущую AC. Тогда \(\angle ACD = \angle CAB = \angle A \) (как соответственные углы).
7. Подставим \(\angle A\) и \(\angle B\) в равенство из шага 2: \(\angle A + \angle B = \angle A + \angle B \). Это не помогает.
8. Вернемся к \( 2 \angle BCD = \angle A + \angle B \).
9. Мы знаем, что \(\angle BCD = \angle B \).
10. Значит, \( 2 \angle B = \angle A + \angle B \).
11. Вычтем \(\angle B\) из обеих частей: \(\angle B = \angle A \).
12. Так как \(\angle A = \angle B \), то треугольник ABC является равнобедренным (стороны, лежащие против равных углов, равны: AC = BC).

Что и требовалось доказать.