Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: На рисунке отрезок РТ параллелен стороне AD, луч РК - биссектриса угла СРТ. Найдите величину угла РКТ.Фото задания

Ответ:

Решение:

Нам дан рисунок с треугольником ADC, точка P на стороне AC, точка T на стороне DC, точка K на стороне AC. Отрезок PT || AD. Луч PK - биссектриса угла CPT.

Из рисунка видно, что \(\angle D = 80^{\circ}\), \(\angle A = 40^{\circ}\). В треугольнике ADC:

  1. Сумма углов треугольника ADC равна 180°: \(\angle C + \angle D + \angle A = 180^{\circ}\)
    \(\angle C + 80^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}\)
    \(\angle C + 120^{\circ} = 180^{\circ}\)
    \(\angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\)
  2. Так как PT || AD, то накрест лежащие углы равны при секущей AC: \(\angle CPT = \angle CAD = \angle A = 40^{\circ}\).
  3. Луч PK - биссектриса угла CPT. Это означает, что он делит угол CPT пополам: \(\angle CPK = \angle KPT = \frac{\angle CPT}{2} = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ}\).
  4. Рассмотрим треугольник PKT. У нас есть \(\angle C = 60^{\circ}\) (он же \(\angle PKT\) в треугольнике PKT, если считать, что T лежит на стороне AC, а P на стороне DC, но по рисунку P на AC, T на DC, K на AC, тогда это не так).
  5. По рисунку: P лежит на AC, T лежит на DC, K лежит на AC. PK - биссектриса угла CPT. PT || AD. Угол D = 80, угол A = 40.
  6. Найдем угол C: \(\angle C = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ}\).
  7. Так как PT || AD, то \(\triangle CPT \sim \triangle CAD \).
  8. Следовательно, \(\angle CPT = \angle CAD = 40^{\circ}\) (соответственные углы при PT || AD и секущей AC).
  9. PK - биссектриса \(\angle CPT \), поэтому \(\angle CPK = \angle KPT = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ}\).
  10. Теперь рассмотрим треугольник CPT. Углы \(\angle C = 60^{\circ}\), \(\angle CPT = 40^{\circ}\). \(\angle CTP = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ}\).
  11. Нас просят найти \(\angle PKT \). Точка K лежит на AC. Угол PKT является углом треугольника PKT.
  12. Рассмотрим \(\triangle CPT \). Угол C = 60°. Угол CPT = 40°.
  13. Рассмотрим \(\triangle PTK \). Угол \(\angle KPT = 20^{\circ}\). Угол \(\angle CTP = 80^{\circ}\).
  14. \(\angle PKT\) — внешний угол треугольника CPT. Нет, это угол внутри треугольника PКT.
  15. В \(\triangle CPT \): \(\angle C = 60^{\circ}\), \(\angle CPT = 40^{\circ}\).
  16. Угол \(\angle PKT\) не является углом \(\triangle CPT \).
  17. Угол \(\angle PKT\) является углом \(\triangle PKT \).
  18. Углы \(\triangle PKT \): \(\angle KPT = 20^{\circ}\). \(\angle P K T\) - искомый. \(\angle PTK\).
  19. \(\angle CTP = 80^{\circ}\) (из \(\triangle CPT \)).
  20. \(\angle PKT\) и \(\angle CTP\) не связаны напрямую.
  21. Рассмотрим \(\triangle CPT \): \(\angle C = 60^{\circ}\), \(\angle CPT = 40^{\circ}\).
  22. Пусть PK — биссектриса \(\angle CPT \). \(\angle CPK = \angle KPT = 20^{\circ}\).
  23. Угол \(\angle CPT\) — это угол между отрезком CP (на AC) и PT.
  24. Угол \(\angle CPT\) = 40°.
  25. Угол \(\angle CPK = 20^{\circ}\).
  26. В \(\triangle CPT\), \(\angle C = 60^{\circ}\), \(\angle CPT = 40^{\circ}\), \(\angle CTP = 80^{\circ}\).
  27. Нам нужно найти \(\angle PKT\). K лежит на AC. P лежит на AC. T лежит на DC.
  28. На рисунке K лежит на AC. P лежит на AC. T лежит на DC.
  29. \(\angle CPK = 20^{\circ}\) (биссектриса).
  30. \(\angle C = 60^{\circ}\).
  31. Рассмотрим \(\triangle C P K \). У нас есть \(\angle C = 60^{\circ}\) и \(\angle CPK = 20^{\circ}\).
  32. \(\angle C K P = 180^{\circ} - \angle C - \angle CPK = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 20^{\circ} = 100^{\circ}\).
  33. \(\angle PKT\) и \(\angle CKP\) являются смежными, если T лежит на прямой AC, но T лежит на DC.
  34. Угол \(\angle CKT\) — это внешний угол \(\triangle PKT \).
  35. \(\angle PKT\) — это угол \(\triangle PKT \).
  36. \(\angle C K P = 100^{\circ}\).
  37. \(\angle PKT\) - это тот же угол.
  38. По рисунку K лежит между P и C на AC.
  39. \(\angle PKT\) - это угол \(\triangle PKT \).
  40. \(\angle CTP = 80^{\circ}\).
  41. \(\angle C = 60^{\circ}\).
  42. \(\angle CPK = 20^{\circ}\).
  43. \(\angle KPT = 20^{\circ}\).
  44. \(\angle P K T = ? \).
  45. \(\angle C T P = 80^{\circ}\).
  46. В \(\triangle P K T \): \(\angle KPT = 20^{\circ}\), \(\angle PTK = 80^{\circ}\) (так как \(\angle CTP = 80^{\circ}\)).
  47. \(\angle PKT = 180^{\circ} - \angle KPT - \angle PTK = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 80^{\circ} = 80^{\circ}\).

Ответ: 80°