10. Докажите, что если числа а², в² и с² составляют арифметическую прогрессию, то числа \(\frac{1}{b+c}\), \(\frac{1}{c+a}\) и \(\frac{1}{a+b}\) также составляют арифметическую прогрессию.

• Разбираемся:
• a², b², c² - арифметическая прогрессия.

Это значит, что: \[b^2 - a^2 = c^2 - b^2\] \[2b^2 = a^2 + c^2\] Нужно доказать, что \(\frac{1}{b+c}\), \(\frac{1}{c+a}\) и \(\frac{1}{a+b}\) тоже арифметическая прогрессия. То есть: \[\frac{1}{c+a} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{c+a}\] \[\frac{2}{c+a} = \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c}\] \[\frac{2}{c+a} = \frac{b+c+a+b}{(a+b)(b+c)}\] \[\frac{2}{c+a} = \frac{a+2b+c}{(a+b)(b+c)}\] \[2(a+b)(b+c) = (c+a)(a+2b+c)\] \[2(ab + b^2 + ac + bc) = ac + 2bc + c^2 + a^2 + 2ab + ac\] \[2ab + 2b^2 + 2ac + 2bc = a^2 + 2ac + c^2 + 2ab + 2bc\] \[2b^2 = a^2 + c^2\] Что и было дано в условии. Следовательно, утверждение доказано.