9. Первый член арифметической прогрессии равен 7.Найдите второй и третий ее члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

• Разбираемся:
• a₁ = 7
• a₂, a₃ - квадраты двух последовательных чисел.

\[\begin{aligned} a_2 &= x^2 \\ a_3 &= (x+1)^2 \end{aligned}\] Из определения арифметической прогрессии: \[\begin{aligned} a_2 - a_1 &= a_3 - a_2 \\ x^2 - 7 &= (x+1)^2 - x^2 \\ x^2 - 7 &= x^2 + 2x + 1 - x^2 \\ x^2 - 7 &= 2x + 1 \\ x^2 - 2x - 8 &= 0 \end{aligned}\] Решаем квадратное уравнение: \[\begin{aligned} D &= (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \\ x_1 &= \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \\ x_2 &= \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \end{aligned}\] Берем положительное значение x = 4. Тогда: \[\begin{aligned} a_2 &= 4^2 = 16 \\ a_3 &= (4+1)^2 = 5^2 = 25 \end{aligned}\]