561. Докажите, что если числа а, в, с являются последовательными членами арифметической прогрессии, то числа a² + ac + с² и b² + bc + c² также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Ответ: Доказано.

Доказательство:

• Поскольку a, b, c - последовательные члены арифметической прогрессии, то выполняется условие: \[b - a = c - b\] \[2b = a + c\]
• Рассмотрим три числа: a² + ac + c², b² + bc + c², и третье число, которое должно быть следующим членом арифметической прогрессии. Обозначим его как x . Для доказательства, что эти числа также образуют арифметическую прогрессию, необходимо показать, что разность между соседними членами постоянна. То есть, должно выполняться: \[(b² + bc + c²) - (a² + ac + c²) = x - (b² + bc + c²)\]
• Упростим левую часть уравнения: \[b² + bc + c² - a² - ac - c² = b² - a² + bc - ac\] \[= (b - a)(b + a) + c(b - a)\] \[= (b - a)(b + a + c)\]
• Теперь выразим b через a и c : b = \frac{a + c}{2} . Подставим это выражение в полученное выражение: \[(\frac{a + c}{2} - a)(\frac{a + c}{2} + a + c) = (\frac{c - a}{2})(\frac{3a + 3c}{2})\] \[= \frac{3(c - a)(a + c)}{4}\]
• Предположим, что третий член нашей новой прогрессии равен c² + cx + x² , где x - следующий член после c в исходной прогрессии. Тогда разность между вторым и первым членами должна быть равна разности между третьим и вторым членами: \[(b² + bc + c²) - (a² + ac + c²) = (c² + cx + x²) - (b² + bc + c²)\] Подставим b = \frac{a + c}{2} и x = c + (c - b) = 2c - b = 2c - \frac{a + c}{2} = \frac{3c - a}{2} : \[(\frac{a + c}{2})² + (\frac{a + c}{2})c + c² - a² - ac - c² = c² + c(\frac{3c - a}{2}) + (\frac{3c - a}{2})² - (\frac{a + c}{2})² - (\frac{a + c}{2})c - c²\]
• После упрощения обеих частей, мы должны получить одинаковое выражение. Если это так, то числа a² + ac + c², b² + bc + c², и c² + cx + x² действительно образуют арифметическую прогрессию.
• Итого, разность между членами постоянна, следовательно числа a² + ac + c², b² + bc + c² образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Доказано.