563. Является ли арифметической прогрессией последовательность (а„), заданная формулой: a) an = 3n + 1; б) an = n² – 5; B) an = n + 4; 1 г) ап = n + 4' д) ап = -0,5n + 1; e) an = 6n?

Ответ: Арифметическими прогрессиями являются последовательности: a), в), д), е)

Решение:

• a) \( a_n = 3n + 1 \) Разность: \( a_{n+1} - a_n = (3(n+1) + 1) - (3n + 1) = 3n + 3 + 1 - 3n - 1 = 3 \). Постоянная разность, значит, это арифметическая прогрессия.
• б) \( a_n = n^2 - 5 \) Разность: \( a_{n+1} - a_n = ((n+1)^2 - 5) - (n^2 - 5) = n^2 + 2n + 1 - 5 - n^2 + 5 = 2n + 1 \). Разность зависит от n, значит, это не арифметическая прогрессия.
• в) \( a_n = n + 4 \) Разность: \( a_{n+1} - a_n = (n+1 + 4) - (n + 4) = n + 5 - n - 4 = 1 \). Постоянная разность, значит, это арифметическая прогрессия.
• г) \( a_n = \frac{1}{n+4} \) Разность: \( a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1+4} - \frac{1}{n+4} = \frac{1}{n+5} - \frac{1}{n+4} = \frac{(n+4) - (n+5)}{(n+5)(n+4)} = \frac{-1}{(n+5)(n+4)} \). Разность зависит от n, значит, это не арифметическая прогрессия.
• д) \( a_n = -0.5n + 1 \) Разность: \( a_{n+1} - a_n = (-0.5(n+1) + 1) - (-0.5n + 1) = -0.5n - 0.5 + 1 + 0.5n - 1 = -0.5 \). Постоянная разность, значит, это арифметическая прогрессия.
• e) \( a_n = 6n \) Разность: \( a_{n+1} - a_n = 6(n+1) - 6n = 6n + 6 - 6n = 6 \). Постоянная разность, значит, это арифметическая прогрессия.

Ответ: Арифметическими прогрессиями являются последовательности: a), в), д), е)