Докажите, что если около трапеции описана окружность, то трапеция равнобедренная.

Пусть ABCD – трапеция, описанная около окружности. Это означает, что все вершины трапеции лежат на окружности. Нужно доказать, что трапеция ABCD является равнобедренной.

Показать доказательство

Трапеция ABCD является вписанной в окружность, следовательно, сумма противоположных углов равна 180°: \[\angle A + \angle C = 180^\circ\] \[\angle B + \angle D = 180^\circ\] Трапеция ABCD - по определению четырехугольник, у которого две стороны (AB и CD) параллельны. Пусть AD и BC - основания трапеции, а AB и CD - боковые стороны. Так как AD || BC, то углы прилежащие к боковой стороне, в сумме дают 180°: \[\angle A + \angle B = 180^\circ\] \[\angle C + \angle D = 180^\circ\] Из этого следует, что: \[\angle A + \angle C = \angle A + \angle B = 180^\circ\] Тогда \(\angle C = \angle B\). Аналогично: \[\angle B + \angle D = \angle C + \angle D = 180^\circ\] Тогда \(\angle B = \angle C\). Поскольку \(\angle A + \angle B = 180^\circ\) и \(\angle B + \angle D = 180^\circ\), то \[\angle A = 180^\circ - \angle B\] \[\angle D = 180^\circ - \angle B\] Таким образом, \(\angle A = \angle D\). Итак, мы получили, что \(\angle A = \angle D\) и \(\angle B = \angle C\). В равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны. Следовательно, трапеция ABCD является равнобедренной.

Доказано

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что углы при одном из оснований трапеции равны, что является признаком равнобедренной трапеции.

Редфлаг: Внимательно следите за свойствами вписанных четырехугольников и трапеций при доказательстве геометрических утверждений.