Постройте график функции у = х² –|8x + 1| и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию \(y = x^2 - |8x + 1|\). Раскроем модуль: 1) Если \(8x + 1 \geq 0\), то есть \(x \geq -\frac{1}{8}\), то \(y = x^2 - (8x + 1) = x^2 - 8x - 1\). 2) Если \(8x + 1 < 0\), то есть \(x < -\frac{1}{8}\), то \(y = x^2 - (-8x - 1) = x^2 + 8x + 1\). Таким образом, имеем кусочную функцию: \[y = \begin{cases} x^2 - 8x - 1, & x \geq -\frac{1}{8} \\ x^2 + 8x + 1, & x < -\frac{1}{8} \end{cases}\] Найдем вершину каждой параболы: 1) Для \(x \geq -\frac{1}{8}\): \(y = x^2 - 8x - 1\). Вершина: \(x_v = \frac{-(-8)}{2 \cdot 1} = 4\). \(y_v = 4^2 - 8 \cdot 4 - 1 = 16 - 32 - 1 = -17\). Вершина: \((4, -17)\). 2) Для \(x < -\frac{1}{8}\): \(y = x^2 + 8x + 1\). Вершина: \(x_v = \frac{-8}{2 \cdot 1} = -4\). \(y_v = (-4)^2 + 8 \cdot (-4) + 1 = 16 - 32 + 1 = -15\). Вершина: \((-4, -15)\). Найдем значение функции в точке стыка \(x = -\frac{1}{8}\): \[y(-\frac{1}{8}) = (-\frac{1}{8})^2 - 8(-\frac{1}{8}) - 1 = \frac{1}{64} + 1 - 1 = \frac{1}{64}.\] \[y(-\frac{1}{8}) = (-\frac{1}{8})^2 + 8(-\frac{1}{8}) + 1 = \frac{1}{64} - 1 + 1 = \frac{1}{64}.\] Значение функции в точке стыка: \((\frac{-1}{8}, \frac{1}{64})\). Теперь построим график функции. График будет состоять из двух частей парабол, соединенных в точке \((\frac{-1}{8}, \frac{1}{64})\). Чтобы прямая \(y = m\) имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить через вершину одной из парабол или через точку стыка, но не через обе вершины одновременно. 1) Прямая проходит через вершину первой параболы: \(y = -17\), то есть \(m = -17\). 2) Прямая проходит через вершину второй параболы: \(y = -15\), то есть \(m = -15\). 3) Прямая проходит через точку стыка: \(y = \frac{1}{64}\), то есть \(m = \frac{1}{64}\). Таким образом, прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = -17\), \(m = -15\) и \(m = \frac{1}{64}\).

Ответ: m = -17, m = -15, m = 1/64

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что при найденных значениях m прямая y = m пересекает график функции ровно в трех точках.

Уровень Эксперт: Графики кусочных функций требуют особого внимания к точкам стыка и корректному раскрытию модулей.