Докажите, что если последовательность 61, 62, ..., bn, ... образует геометрическую прогрессию, то и последовательность 61, 62 также образует геометрическую прогрессию.

Ответ: Доказано.

Разберем:

• Геометрическая прогрессия: Последовательность b₁, b₂, ..., bₙ, ... является геометрической, если существует такое число q (знаменатель прогрессии), что для любого n выполняется: bₙ₊₁ = bₙ \cdot q.
• Рассмотрим последовательность четвертых степеней: b₁⁴, b₂⁴, ..., bₙ⁴, ...
• Выразим (n+1)-й член последовательности четвертых степеней через n-й член: Нужно показать, что существует такое число Q, что для любого n выполняется: bₙ₊₁⁴ = bₙ⁴ \cdot Q.

Шаг 1: Запишем (n+1)-й член последовательности bₙ₊₁ через n-й член bₙ, используя знаменатель геометрической прогрессии q:

• bₙ₊₁ = bₙ \cdot q

Шаг 2: Возведем обе части этого уравнения в четвертую степень:

• (bₙ₊₁)⁴ = (bₙ \cdot q)⁴
• bₙ₊₁⁴ = bₙ⁴ \cdot q⁴

Шаг 3: Из полученного выражения видно, что последовательность четвертых степеней также является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q⁴.

• Q = q⁴

Вывод: Последовательность b₁⁴, b₂⁴, ..., bₙ⁴, ... является геометрической прогрессией со знаменателем Q = q⁴.

Ответ: Доказано.