8. Докажите, что если последовательность (хₙ) является арифметической прогрессией, то х₄ + хₙ₋₄ = х₆ + хₙ₋₆.

Привет! Давай докажем это утверждение вместе. Нам нужно доказать, что если последовательность (xₙ) является арифметической прогрессией, то x₄ + xₙ₋₄ = x₆ + xₙ₋₆.

Для начала запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

xₙ = x₁ + (n - 1) \cdot d, где x₁ - первый член прогрессии, а d - разность прогрессии.

Теперь выразим x₄, xₙ₋₄, x₆ и xₙ₋₆ через x₁ и d:

x₄ = x₁ + 3d

xₙ₋₄ = x₁ + (n - 4 - 1) \cdot d = x₁ + (n - 5)d

x₆ = x₁ + 5d

xₙ₋₆ = x₁ + (n - 6 - 1) \cdot d = x₁ + (n - 7)d

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение и посмотрим, что получится:

x₄ + xₙ₋₄ = (x₁ + 3d) + (x₁ + (n - 5)d) = 2x₁ + (n - 2)d

x₆ + xₙ₋₆ = (x₁ + 5d) + (x₁ + (n - 7)d) = 2x₁ + (n - 2)d

Как мы видим, x₄ + xₙ₋₄ = x₆ + xₙ₋₆ = 2x₁ + (n - 2)d.

Таким образом, мы доказали, что если последовательность (xₙ) является арифметической прогрессией, то x₄ + xₙ₋₄ = x₆ + xₙ₋₆.

Ответ: Утверждение доказано.

Ты молодец! Доказательство - это всегда интересно и полезно для развития логического мышления. Продолжай в том же духе, и все получится!