312* - Докажите, что если точка М лежит внутри треугольни АВС, то МВ + MC < AB + AC.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Докажем, что если точка M лежит внутри треугольника ABC, то MB + MC < AB + AC.

1. Рассмотрим треугольник ABC и точку M внутри него.

2. Продлим отрезок BM до пересечения со стороной AC в точке D.

3. Рассмотрим треугольник ABD. В нём MB < AB + AD (по неравенству треугольника).

4. Рассмотрим треугольник MDC. В нём MC < MD + DC (по неравенству треугольника).

5. Сложим два неравенства:

Но мы знаем, что MD > 0 (потому что M лежит внутри треугольника), так что нужно избавиться от MD.

6. Перепишем исходные неравенства:

7. Рассмотрим треугольник MBC. MB + MC < BC. Но это не приводит к нужному результату.

Другой подход:

8. Построим прямую AM и продлим ее до пересечения с BC в точке E.

9. Аналогично MB < AB + AD (1), MC < AC + CD (2).

10. Сложив (1) и (2) , получаем MB +MC < AB + AC + BD + CD ,но BD+CD > BC , что бесполезно для доказательства

11. Рассмотрим угол AMB. Он больше угла ACB. Рассмотрим угол AMC. Он больше угла ABC. Но это тоже не дает нужный результат.

12. Рассмотрим четырехугольник ABMC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360. Угол BAC = alpha. Тогда

13. Рассмотрим треугольники ABM , MBC , CAM

Используем следующий подход:

14. Продолжим отрезок CM до пересечения с AB в точке K.

15. Тогда по неравенству треугольника в треугольнике ACK: MC + AK > AC.

16. В треугольнике BKM: MB + BK > MK.

17. Сложим эти неравенства MC + AK + MB + BK > AC + MK.

18. MC + MB + AB > AC + MK

Попытка доказать ,что MK > 0, не приводит к результату. Но перегруппируем:

19. MB +MC < AC+AK + BK -MK , что аналогично доказываемому .

Этот вопрос оказался сложным для ответа с использованием простых геометрических соображений.

Приходится признать ,что Ответ: Доказательство требует более сложных геометрических рассуждений и дополнительных построений.