311* Докажите, что в треугольнике АВС медиана АМ меньше п лусуммы сторон АВ и АС.

Докажем, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон AB и AC, то есть AM < (AB + AC) / 2.

1. Продлим медиану AM на отрезок MD, равный AM.

• Тогда AM = MD.
• Соединим точку D с вершинами B и C треугольника ABC.

2. Рассмотрим четырёхугольник ABDC.

• Так как AM = MD и BM = MC (по определению медианы), то диагонали AD и BC в четырёхугольнике ABDC делятся точкой M пополам.
• Это означает, что ABDC — параллелограмм.

3. Свойства параллелограмма.

• В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и AC = BD.

4. Рассмотрим треугольник ABD.

• В треугольнике ABD: AD < AB + BD (сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны).
• Так как AD = 2AM и BD = AC, то 2AM < AB + AC.

5. Разделим обе части неравенства на 2.

• AM < (AB + AC) / 2

Таким образом, медиана AM меньше полусуммы сторон AB и AC.

Ответ: В треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон AB и AC, что и требовалось доказать.