4309 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и на- клонные АМ₁ И АМ 2. Докажите, что: а) если НМ₁ = HM2, то АМ₁ = AM2; 1 б) если НМ₁ <HM2, ΤΟ AM₁ < AM2.

Рассмотрим задачу с перпендикуляром и наклонными, проведёнными из точки A к прямой a.

а) Если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂.

• Дано: AH - перпендикуляр к прямой a, AM₁ и AM₂ - наклонные, HM₁ = HM₂.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂.
• У них AH - общий катет, HM₁ = HM₂ (по условию).
• По теореме Пифагора: AM₁² = AH² + HM₁² и AM₂² = AH² + HM₂².
• Так как AH² одинаково в обоих уравнениях и HM₁ = HM₂, то AH² + HM₁² = AH² + HM₂².
• Следовательно, AM₁² = AM₂², значит AM₁ = AM₂.

б) Если HM₁ < HM₂, то AM₁ < AM₂.

• Дано: AH - перпендикуляр к прямой a, AM₁ и AM₂ - наклонные, HM₁ < HM₂.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂.
• У них AH - общий катет, HM₁ < HM₂ (по условию).
• По теореме Пифагора: AM₁² = AH² + HM₁² и AM₂² = AH² + HM₂².
• Так как HM₁ < HM₂, то HM₁² < HM₂².
• Следовательно, AH² + HM₁² < AH² + HM₂², значит AM₁² < AM₂².
• Из этого следует, что AM₁ < AM₂.

Ответ: а) Если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂; б) Если HM₁ < HM₂, то AM₁ < AM₂.