310 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр А и наклонные АМ₁ и АМ2. Докажите, что: а) если АМ₁ = AM2, то НМ₁=HM2; 1 б) если АМ₁ < AM2, ΤΟ ΗΜ₁<HM2.

Рассмотрим задачу с перпендикуляром AH и наклонными AM₁ и AM₂ к прямой a.

а) Если AM₁ = AM₂, то HM₁ = HM₂.

• Дано: AH - перпендикуляр к прямой a, AM₁ и AM₂ - наклонные, AM₁ = AM₂.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂.
• У них AH - общий катет, AM₁ = AM₂ (по условию).
• По теореме Пифагора: HM₁² = AM₁² - AH² и HM₂² = AM₂² - AH².
• Так как AM₁ = AM₂, то AM₁² = AM₂².
• Следовательно, HM₁² = AM₁² - AH² = AM₂² - AH² = HM₂².
• Значит, HM₁² = HM₂², откуда HM₁ = HM₂.

б) Если AM₁ < AM₂, то HM₁ < HM₂.

• Дано: AH - перпендикуляр к прямой a, AM₁ и AM₂ - наклонные, AM₁ < AM₂.
• Рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂.
• У них AH - общий катет, AM₁ < AM₂ (по условию).
• По теореме Пифагора: HM₁² = AM₁² - AH² и HM₂² = AM₂² - AH².
• Так как AM₁ < AM₂, то AM₁² < AM₂².
• Следовательно, AM₁² - AH² < AM₂² - AH², значит HM₁² < HM₂².
• Из этого следует, что HM₁ < HM₂.

Ответ: а) Если AM₁ = AM₂, то HM₁ = HM₂; б) Если AM₁ < AM₂, то HM₁ < HM₂.