Докажите, что если у треугольника две медианы равны, то он равнобедренный.

Пусть медианы, проведённые к сторонам длины \(a\) и \(b\), равны соответственно \(m_a\) и \(m_b\). По формуле медианы:

\[m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},\qquad m_b^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}.\]

Из условия \(m_a=m_b\), следовательно, равны и их квадраты. Приравниваем формулы:

\[2b^2+2c^2-a^2=2a^2+2c^2-b^2.\]

Сокращаем одинаковые слагаемые и получаем \(3b^2=3a^2\), значит, \(a=b\). У треугольника равны две стороны, поэтому он равнобедренный.