Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Медиану BN продлили за точку N на треть её длины. Получили отрезок ND, где ND = 1/3 BN. Периметр треугольника DMC равен 42 см. Найдите периметр треугольника, составленного из медиан треугольника ABC.

1. Центроид M делит медиану BN в отношении 2:1. Обозначим \(BN=3x\). Тогда \(MN=x\) и, по условию, \(ND=x\). Так как D лежит за N, \(DM=MN+ND=2x=\frac23 BN\).

2. Также \(MC=\frac23 CL\), поскольку M делит медиану CL в отношении 2:1. Поскольку N — середина AC, а \(ND=\frac13 BN\) на продолжении медианы, получаем \(CD=\frac23 AK\). Например, в векторной записи: \(\overrightarrow{CD}=\frac23\overrightarrow{AK}\).

3. Значит, периметр DMC составляет две трети суммы длин трёх медиан:

   \[42=\frac23(AK+BN+CL).\]

4. Отсюда периметр треугольника, сторонами которого являются три медианы, равен \(AK+BN+CL=\frac32\cdot42=63\) см.

Ответ: 63 см.