Медианы AK и CM треугольника ABC взаимно перпендикулярны, AC = 10 см. Найдите длину третьей медианы BN.

1. Обозначим через M начало отсчёта и направим из M радиус-векторы к вершинам A, B и C: \(\vec a,\vec b,\vec c\). Для центра тяжести выполняется \(\vec a+\vec b+\vec c=0\).

2. Так как K и точка на AB, в которую проведена медиана CM, являются серединами соответствующих сторон, векторы медиан равны \(\overrightarrow{AK}=-\frac32\vec a\) и \(\overrightarrow{CM}=-\frac32\vec c\). Их перпендикулярность означает, что \(\vec a\perp\vec c\).

3. Из \(\vec b=-(\vec a+\vec c)\) и перпендикулярности следует \(|\vec b|=|\vec a+\vec c|=|\vec a-\vec c|=AC=10\) см.

4. Медиана из B имеет длину \(BN=\frac32|\vec b|=\frac32\cdot10=15\) см.

Ответ: 15 см.