938 Докажите, что если векторы АВ и СD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то АВ = CD.

Пусть векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны. Пусть M и N - середины отрезков AD и BC соответственно. Необходимо доказать, что точки M и N совпадают.

Так как \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), то координаты их концов связаны следующим образом: \(B - A = D - C\) (1)

Середина отрезка AD имеет координаты \(M = \frac{A + D}{2}\), а середина отрезка BC имеет координаты \(N = \frac{B + C}{2}\).

Надо доказать, что \(M = N\), т.е. \(\frac{A + D}{2} = \frac{B + C}{2}\).

Умножим обе части на 2: \(A + D = B + C\)

Из равенства (1) выразим D: \(D = B - A + C\)

Подставим это выражение в левую часть равенства: \(A + B - A + C = B + C\)

Упростим: \(B + C = B + C\), что и требовалось доказать.

Теперь докажем обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).

Пусть \(M = \frac{A + D}{2}\) и \(N = \frac{B + C}{2}\), и по условию \(M = N\), т.е. \(\frac{A + D}{2} = \frac{B + C}{2}\).

Умножим обе части на 2: \(A + D = B + C\)

Тогда \(D - C = B - A\), что означает \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\) или \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\), что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.