129. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник ABC. Пусть D и E - точки на сторонах AB и AC соответственно. Нужно доказать, что DE <= max(AB, BC, AC). 1. Если DE параллельна BC, то ADE и ABC подобны, и DE/BC = AD/AB < 1, значит DE < BC. Поскольку BC одна из сторон треугольника, то DE меньше наибольшей из сторон. 2. Если DE не параллельна BC, проведем прямую через E, параллельную AB, и пусть она пересекает BC в точке F. Тогда ABFE - параллелограмм, и EF = AB. Отрезок DE лежит внутри треугольника EFC. По неравенству треугольника DE < EF + FC = AB + FC. Если AB - наибольшая сторона, то все доказано. Иначе, FC < BC. Отсюда DE < AB + BC. Это доказывает что DE не больше наибольшей из сторон треугольника. Альтернативное доказательство (более сложное): Допустим, что DE > max(AB, BC, AC). Дополним отрезок DE до параллелограмма DXYE, где X лежит на стороне BC и Y лежит на стороне AB. Тогда XY || DE. Так как DE > AB, то XY > AB, но XY лежит внутри треугольника ABC и должна быть меньше, чем BC, AC и AB. Это противоречие доказывает, что DE не может быть больше наибольшей стороны треугольника ABC.