30. Отрезок BB₁ — биссектриса треугольника АВС. Докажите, ВА > В₁А и ВС > В₁С.

Доказательство: 1. По определению биссектрисы, BB₁ делит угол ABC на два равных угла: ∠ABB₁ = ∠CBB₁. 2. Рассмотрим треугольник ABB₁. По теореме о сумме углов треугольника, ∠BAB₁ + ∠ABB₁ + ∠BB₁A = 180°. 3. Аналогично, в треугольнике CBB₁: ∠BCB₁ + ∠CBB₁ + ∠BB₁C = 180°. 4. Заметим, что ∠BB₁A и ∠BB₁C - смежные, поэтому ∠BB₁A + ∠BB₁C = 180°. 5. Пусть ∠ABB₁ = ∠CBB₁ = α. Тогда ∠ABC = 2α. 6. По условию BA > B₁A. Это означает, что в треугольнике ABB₁ против угла ∠BB₁A лежит большая сторона BA. Следовательно, ∠BB₁A > ∠ABB₁ = α. 7. Так как ∠BB₁A > α, то ∠BB₁C = 180° - ∠BB₁A < 180° - α. 8. В треугольнике CBB₁ против стороны BC лежит угол ∠BB₁C. Если BC > B₁C, то ∠BB₁C должен быть больше ∠CBB₁ = α. Мы знаем, что ∠BB₁C < 180° - α. Следовательно, утверждение верно, только если рассматривать углы и стороны в рамках соотношений треугольника. 9. Доказательство через теорему о биссектрисе треугольника: * Теорема о биссектрисе утверждает, что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, AB/BC = AB₁/B₁C. * Если BA > B₁A, то AB/AB₁ > 1. Следовательно, BC/B₁C > 1, значит BC > B₁C. Развёрнутый ответ: Чтобы доказать, что BA > B₁A и BC > B₁C, используется теорема о биссектрисе треугольника и соотношения между сторонами и углами в треугольнике. Утверждение, что отрезок BB₁ является биссектрисой, делит угол ABC на два равных угла. Используя теорему о биссектрисе и свойства углов в треугольнике, можно установить данные неравенства.