428. Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята такая точка M, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол AMC, если ∠BAC = 80°.

Решение задачи 428: 1. **Найдем углы треугольника ABC:** * ∠BAC = 80° (дано) * ∠ABC = ∠ACB = (180° - 80°) / 2 = 50° (так как треугольник равнобедренный с основанием BC) 2. **Найдем углы треугольника MBC:** * ∠MBC = 30° (дано) * ∠MCB = 10° (дано) * ∠BMC = 180° - (30° + 10°) = 140° 3. **Найдем углы MAB и MAC:** * ∠MBA = ∠ABC - ∠MBC = 50° - 30° = 20° * ∠MCA = ∠ACB - ∠MCB = 50° - 10° = 40° 4. **Рассмотрим треугольник ABM и найдем угол MAB:** * Чтобы найти угол MAB, нужно привлечь дополнительные построения или тригонометрические функции, что выходит за рамки школьной программы. Однако, предполагая, что существует более простое геометрическое решение, которое, возможно, требует построения дополнительных линий или использования свойств симметрии, можно попробовать другой подход. Без дополнительных построений или продвинутых методов, точно определить ∠MAB невозможно. 5. **Предположим, что каким-то образом мы знаем углы MAB и MAC:** * Пусть ∠MAB = x, ∠MAC = 80 - x 6. **Рассмотрим треугольник AMC:** * ∠AMC = 180° - (∠MAC + ∠MCA) * ∠AMC = 180° - ((80 - x) + 40°) * ∠AMC = 180° - (120 - x) * ∠AMC = 60° + x 7. **Рассмотрим треугольник ABM:** * ∠AMB = 180° - (∠MBA + ∠MAB) * ∠AMB = 180° - (20° + x) * ∠AMB = 160° - x 8. **Поскольку сумма углов вокруг точки M равна 360°:** * ∠AMB + ∠BMC + ∠CMA = 360° * (160° - x) + 140° + (60° + x) = 360° * 360° = 360° Эта проверка не помогает найти угол AMC напрямую, но подтверждает, что наши расчеты показывают согласованность углов. **Однако, найти точное значение угла AMC без дополнительных построений или тригонометрии затруднительно.** Задача, скорее всего, рассчитана на более глубокий анализ, возможный при изучении тригонометрии или использовании дополнительных построений. **Развернутый ответ:** Для решения этой задачи необходимо знание геометрии на уровне старших классов или олимпиадных задач. Без дополнительных построений или использования тригонометрии точное решение найти сложно. Обычно в таких задачах требуется заметить какие-то особенные свойства фигуры или выполнить дополнительные построения, которые упрощают решение. Но в рамках школьной программы и без дополнительных данных точное решение не представляется возможным.