7. Докажите, что многочлен х² – 4x + y² – бу + 15 при любых значениях входящих в него переменных принимает положи-

Преобразуем данный многочлен, выделив полные квадраты:

$$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 15 = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + 15 - 4 - 9 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 2$$

Так как $$(x - 2)^2 \ge 0$$ и $$(y - 3)^2 \ge 0$$ для любых значений $$x$$ и $$y$$, то

$$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 2 \ge 2 > 0$$

Следовательно, данный многочлен всегда принимает положительные значения.

Ответ: Многочлен $$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 15$$ принимает положительные значения при любых значениях переменных $$x$$ и $$y$$, так как $$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 2 \ge 2$$