575. Докажите, что многочлен х²+ у² + 1 при любых зна чет положительные значения.

Докажем, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает положительные значения при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

Для любых действительных чисел $$x$$ и $$y$$:

• $$x^2 \geq 0$$ (квадрат любого действительного числа неотрицателен)
• $$y^2 \geq 0$$ (квадрат любого действительного числа неотрицателен)

Следовательно, сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна:

$$x^2 + y^2 \geq 0$$

Теперь добавим к обеим частям неравенства 1:

$$x^2 + y^2 + 1 \geq 0 + 1$$

$$x^2 + y^2 + 1 \geq 1$$

Таким образом, $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда больше или равно 1, что означает, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $$x$$ и $$y$$.

Ответ: Доказано, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает только положительные значения при любых значениях x и y.