575. Докажите, что многочлен х²+ у² + 1 при любых значения принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что многочлен x²+y²+1 принимает положительные значения при любых значениях x и y, рассмотрим каждый член многочлена.

• x² — квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. То есть, x² ≥ 0.
• y² — квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. То есть, y² ≥ 0.
• 1 — положительное число.

Сумма двух неотрицательных чисел (x² и y²) также будет неотрицательным числом. То есть, x² + y² ≥ 0.

Добавим к этой сумме единицу: x² + y² + 1 ≥ 0 + 1

Значит, x² + y² + 1 ≥ 1

Так как x² + y² + 1 больше или равно 1, то есть всегда больше нуля, это означает, что многочлен x²+y²+1 всегда принимает положительные значения при любых значениях x и y.

Ответ: Многочлен x²+y²+1 принимает положительные значения при любых значениях x и y, что и требовалось доказать.