17.13. Докажите, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противолежащей стороне, не больше хотя бы одной из двух других сторон.

Рассмотрим треугольник ABC и точку D на стороне BC. Соединим вершину A с точкой D. Нужно доказать, что AD ≤ AB или AD ≤ AC.

По неравенству треугольника, для треугольника ABD имеем: AD + BD > AB и для треугольника ADC: AD + DC > AC.

Если AD > AB и AD > AC, то, сложив эти неравенства, получим 2AD + BD + DC > AB + AC. Так как BD + DC = BC, то 2AD + BC > AB + AC.

Таким образом, AD не может быть одновременно больше и AB, и AC. Следовательно, AD меньше или равна хотя бы одной из сторон, что и требовалось доказать.