17.12. Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренно- го треугольника с точкой, лежащей на его основании, не больше боковой стороны треугольника.

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и точка D лежит на основании BC. Нужно доказать, что отрезок AD не больше боковой стороны.

• Если точка D совпадает с точкой B или C, то AD совпадает с боковой стороной AB или AC, и утверждение верно.
• Если точка D лежит между точками B и C, то рассмотрим треугольник ABD. По неравенству треугольника, сумма двух сторон всегда больше третьей стороны, то есть: AD + BD > AB

Перепишем это неравенство как AD > AB - BD.

Аналогично, для треугольника ADC: AD + DC > AC или AD > AC - DC

Так как AB = AC (треугольник равнобедренный), мы можем сказать, что AD больше, чем разница между боковой стороной и отрезком на основании.

Теперь допустим, что AD больше боковой стороны, то есть AD > AB. В этом случае, AD + BD > AD (так как BD больше нуля), что противоречит неравенству треугольника AD + BD > AB.

Следовательно, наше предположение неверно, и AD не может быть больше AB. Таким образом, AD не больше боковой стороны AB (или AC), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.