Докажите, что параллелограмм, у которого высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны, является ромбом.

Обозначим параллелограмм ABCD так, что угол A — тупой. Проведём из A перпендикуляры к прямым BC и CD; их длины обозначим \(h_1\) и \(h_2\). Пусть \(\angle A=\alpha\).

Так как \(BC\parallel AD\), расстояние от A до BC равно \(AB\sin\alpha\). Так как \(CD\parallel AB\), расстояние от A до CD равно \(AD\sin\alpha\). Поэтому \(h_1=AB\sin\alpha\), \(h_2=AD\sin\alpha\).

По условию \(h_1=h_2\). Значит, \(AB\sin\alpha=AD\sin\alpha\). Поскольку \(\sin\alpha\ne0\), получаем \(AB=AD\).

У параллелограмма равны противоположные стороны: \(AB=CD\) и \(AD=BC\). Вместе с \(AB=AD\) это означает, что все его стороны равны, следовательно, ABCD — ромб.