6. Докажите, что при любом нечётном значении n значение выраже зия (4n+1)²–(n+4)² кратно 120.

Ответ: Выражение (4n+1)² – (n+4)² кратно 120 при любом нечетном n.

Шаг 1: Упростим выражение, используя формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

(4n+1)² – (n+4)² = ((4n+1) - (n+4))((4n+1) + (n+4)) = (4n+1-n-4)(4n+1+n+4) = (3n - 3)(5n + 5)

Шаг 2: Вынесем общие множители:

(3n - 3)(5n + 5) = 3(n - 1)5(n + 1) = 15(n - 1)(n + 1)

Шаг 3: Так как n - нечетное число, то n = 2k + 1, где k - целое число.

Подставим n = 2k + 1 в выражение:

15((2k + 1) - 1)((2k + 1) + 1) = 15(2k)(2k + 2) = 15(2k)(2(k + 1)) = 60k(k + 1)

Шаг 4: Так как k(k + 1) - это произведение двух последовательных целых чисел, то оно всегда делится на 2.

k(k + 1) = 2m, где m - целое число.

Подставим k(k + 1) = 2m в выражение:

60k(k + 1) = 60(2m) = 120m

Шаг 5: Таким образом, выражение 120m кратно 120.

Следовательно, (4n+1)² – (n+4)² кратно 120 при любом нечетном n.

Ответ: Выражение (4n+1)² – (n+4)² кратно 120 при любом нечетном n.