490. Докажите, что при любых а и b значение выражения 3a² + a(a – 4b) – 2a(6 – 2b) + 12a + 1 является положительным числом.

Докажем, что при любых $$a$$ и $$b$$ значение выражения $$3a^2 + a(a - 4b) - 2a(6 - 2b) + 12a + 1$$ является положительным числом.

Упростим выражение:

$$3a^2 + a(a - 4b) - 2a(6 - 2b) + 12a + 1 = 3a^2 + a^2 - 4ab - 12a + 4ab + 12a + 1 = 4a^2 + 1$$

Так как $$a^2 \ge 0$$ для любого $$a$$, то $$4a^2 \ge 0$$, а значит, $$4a^2 + 1 \ge 1 > 0$$.

Выражение $$4a^2 + 1$$ всегда больше нуля, то есть является положительным числом.

Ответ: Выражение всегда является положительным числом.