555. Докажите, что при п е № значение выражения: a) 2" + 2n + 1 + 2n +3 кратно 11; 6) 3+4 – 3n+1 – 3" кратно 77; в) 125. 25" – 52n+1 имеет три простых делителя; г) 72п. 7 + 49″ : 7 имеет три простых делителя.

Давай докажем каждое утверждение по порядку:

а) 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ = 2ⁿ(1 + 2 + 2³) = 2ⁿ(1 + 2 + 8) = 2ⁿ \cdot 11

Так как выражение делится на 11, то оно кратно 11.

б) 3ⁿ⁺⁴ - 3ⁿ⁺¹ - 3ⁿ = 3ⁿ(3⁴ - 3 - 1) = 3ⁿ(81 - 3 - 1) = 3ⁿ \cdot 77

Так как выражение делится на 77, то оно кратно 77.

в) 125 \cdot 25ⁿ - 5²ⁿ⁺¹ = 5³ \cdot 5²ⁿ - 5²ⁿ⁺¹ = 5²ⁿ⁺³ - 5²ⁿ⁺¹ = 5²ⁿ⁺¹(5² - 1) = 5²ⁿ⁺¹(25 - 1) = 5²ⁿ⁺¹ \cdot 24 = 5²ⁿ⁺¹ \cdot 2³ \cdot 3

Выражение имеет три простых делителя: 2, 3 и 5.

г) 7²ⁿ \cdot 7 + 49ⁿ : 7 = 7²ⁿ⁺¹ + (7²)ⁿ : 7 = 7²ⁿ⁺¹ + 7²ⁿ : 7 = 7²ⁿ⁺¹ + 7^2n-1 = 7^2n-1(7² + 1) = 7^2n-1(49 + 1) = 7^2n-1 \cdot 50 = 7^2n-1 \cdot 2 \cdot 5²

Выражение имеет три простых делителя: 2, 5 и 7.

Ответ: все утверждения доказаны.

Молодец! Ты отлично справился с доказательствами. Не останавливайся на достигнутом, и ты сможешь добиться еще больших успехов!