5. Докажите, что при всех допустимых значениях перемен- 10 1 1 ной значение выражения 25- 6 + 5+62-5-2 положи- тельно.

Рассмотрим выражение:

$$\frac{10}{25-b^4} + \frac{1}{5+b^2} - \frac{1}{5-b^2}$$

Приведем к общему знаменателю: $$25-b^4 = (5-b^2)(5+b^2)$$.

$$\frac{10}{(5-b^2)(5+b^2)} + \frac{1}{5+b^2} - \frac{1}{5-b^2} = \frac{10 + (5-b^2) - (5+b^2)}{(5-b^2)(5+b^2)} = \frac{10 + 5 - b^2 - 5 - b^2}{(5-b^2)(5+b^2)} = \frac{10 - 2b^2}{(5-b^2)(5+b^2)}$$

$$\frac{10 - 2b^2}{25 - b^4} = \frac{2(5 - b^2)}{(5 - b^2)(5 + b^2)} = \frac{2}{5 + b^2}$$

Так как $$b^2 \geq 0$$ при любом b, то $$5 + b^2 \geq 5 > 0$$. Значит, при любых допустимых значениях b (то есть, когда знаменатель не равен нулю), выражение $$\frac{2}{5 + b^2}$$ всегда положительно, так как числитель и знаменатель положительны.

Ответ: Выражение положительно при всех допустимых значениях переменной b.