6. Докажите, что прямая, параллельная стороне равностороннего треугольника и пересекающая две его стороны, отсекает равносторонний треугольник.

Доказательство:

1. Пусть дан равносторонний треугольник ABC, и прямая DE параллельна стороне AC, где D лежит на стороне AB, а E лежит на стороне BC.
2. Так как DE || AC, то углы BDE и BAC соответственные, а углы BED и BCA также соответственные.
3. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 60°.
4. Так как ∠BDE = ∠BAC и ∠BED = ∠BCA, то ∠BDE = ∠BED = 60°.
5. Тогда и ∠DBE = 60° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).
6. Следовательно, треугольник BDE имеет все углы равные 60°, значит, он равносторонний.

Ответ: доказано.