4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике МОР на гипотенузе МР отмечена точка К. Известно, что ∠ОКР в 4 раза больше, чем ∠МОК. Найдите углы треугольника МОК.

Решение:

1. Пусть ∠МОК = x, тогда ∠ОКР = 4x.
2. ∠ОКР является внешним углом треугольника МОК, поэтому ∠ОКР = ∠МОК + ∠ОМК.
3. 4x = x + ∠ОМК, следовательно, ∠ОМК = 3x.
4. Треугольник MOP - равнобедренный прямоугольный, значит, ∠ОМР = ∠ОРМ = 45°.
5. ∠ОМК = ∠ОМР = 45°, то есть 3x = 45°, следовательно, x = 15°.
6. ∠МОК = 15°, ∠ОМК = 45°.
7. ∠МОК + ∠ОМК + ∠МOК = 180°. 15° + 45° + ∠МOК = 180°. ∠МOК = 180° - 60° = 120°.

Ответ: ∠МОК = 15°, ∠ОМК = 45°, ∠МOК = 120°.