13. Докажите, что сумма медиан любого треугольника меньше его периметра.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, и медианы AA1, BB1 и CC1. Докажем, что AA1 + BB1 + CC1 < AB + BC + CA.

Продлим медиану AA1 на отрезок A1D = AA1. Получим параллелограмм ABDA1. В параллелограмме сумма длин диагоналей больше суммы длин двух смежных сторон: 2*AA1 < AB + AD. Но AD = BC. Следовательно, 2*AA1 < AB + BC.

Аналогично, 2*BB1 < BC + AC и 2*CC1 < AB + AC. Сложим эти три неравенства: 2*(AA1 + BB1 + CC1) < 2*(AB + BC + AC). Разделим обе части на 2: AA1 + BB1 + CC1 < AB + BC + AC.

Следовательно, сумма медиан любого треугольника меньше его периметра.

Ответ: Доказано.