Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Доказательство:

1. Пусть n-угольник имеет вершины A₁, A₂, ..., Aₙ.
2. Пусть внутренние углы многоугольника равны α₁, α₂, ..., αₙ.
3. Пусть внешние углы, взятые по одному при каждой вершине, равны β₁, β₂, ..., βₙ.
4. Внутренний и соответствующий ему внешний угол при каждой вершине являются смежными, поэтому их сумма равна 180°:
• α₁ + β₁ = 180°
• α₂ + β₂ = 180°
• ...
• αₙ + βₙ = 180°
5. Сложим все эти равенства:
• (α₁ + β₁) + (α₂ + β₂) + ... + (αₙ + βₙ) = 180° × n
6. Перегруппируем слагаемые:
• (α₁ + α₂ + ... + αₙ) + (β₁ + β₂ + ... + βₙ) = 180° × n
7. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) × 180°. Обозначим ее S_внутр.
• S_внутр = α₁ + α₂ + ... + αₙ = (n - 2) × 180°
8. Подставим это в предыдущее равенство:
• (n - 2) × 180° + (β₁ + β₂ + ... + βₙ) = 180° × n
9. Выразим сумму внешних углов (обозначим ее S_внеш):
• S_внеш = β₁ + β₂ + ... + βₙ = 180° × n - (n - 2) × 180°
• S_внеш = 180° × n - 180° × n + 360°
• S_внеш = 360°

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.