Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.

Признаки параллелограмма:

Утверждение 1: Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть дан четырёхугольник ABCD, в котором AB = CD и BC = DA.

1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔCDA.
3. Стороны AB = CD, BC = DA (по условию).
4. Сторона AC — общая.
5. Следовательно, ΔABC = ΔCDA по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC.
7. Угол ∠BAC и ∠DCA являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Поскольку они равны, то AB || CD.
8. Угол ∠BCA и ∠DAC являются накрест лежащими при прямых BC и DA и секущей AC. Поскольку они равны, то BC || DA.
9. Так как противоположные стороны попарно параллельны, то четырёхугольник ABCD — параллелограмм по определению.

Утверждение 2: Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть даны четырёхугольник ABCD и его диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O. По условию, AO = CO и BO = DO.

1. Рассмотрим треугольники ΔABO и ΔCDO.
2. AO = CO и BO = DO (по условию).
3. Угол ∠AOB = ∠COD (как вертикальные).
4. Следовательно, ΔABO = ΔCDO по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO.
6. Угол ∠BAO и ∠DCO являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Поскольку они равны, то AB || CD.
7. Угол ∠ABO и ∠CDO являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Поскольку они равны, то AB || CD. (Это можно было использовать для доказательства параллельности сторон AB и CD).
8. Аналогично, рассмотрев треугольники ΔBCO и ΔDAO, можно доказать, что BC || DA.
9. Так как противоположные стороны попарно параллельны, то четырёхугольник ABCD — параллелограмм по определению.

Другие признаки (менее основные, но связанные):

Утверждение 3: Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Утверждение 4: Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.