2. Докажите, что точка пересечения биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника и противолежащего катета равноудалена от гипотенузы и прилежащего катета.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Пусть AL - биссектриса угла A, где L - точка на катете BC. Пусть LH - перпендикуляр из точки L на гипотенузу AB, и LK - перпендикуляр из точки L на катет AC. Так как AL - биссектриса угла A, то по свойству биссектрисы угла треугольника, точка L равноудалена от сторон угла A, то есть AL = LH. LK - это перпендикуляр из L на AC, то есть LK является расстоянием от L до прилежащего катета AC. LH - это перпендикуляр из L на AB, то есть LH является расстоянием от L до гипотенузы AB. Так как AL - биссектриса, то LK = LH, то есть точка L равноудалена от гипотенузы и прилежащего катета. Что и требовалось доказать.