5. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 30°, равен 20. Найдите длину высоты, проведённой к гипотенузе, и расстояние от основания этой высоты до медианы, проведённой к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 30°, AC = 20. Тогда угол B = 60°. Найдем гипотенузу AB: \(\cos A = \frac{AC}{AB}\), \(AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{20}{\cos 30°} = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}\). Найдем катет BC: \(\tan A = \frac{BC}{AC}\), \(BC = AC \cdot \tan A = 20 \cdot \tan 30° = 20 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\). Найдем высоту CH, проведенную к гипотенузе: \(CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{20 \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3}}{\frac{40\sqrt{3}}{3}} = \frac{400\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{40\sqrt{3}} = 10\). Пусть M - середина гипотенузы AB. Тогда AM = MB = CM = \(\frac{1}{2}AB = \frac{20\sqrt{3}}{3}\). Найдем AH: \(\cos A = \frac{AH}{AC}\), \(AH = AC \cdot \cos A = 20 \cdot \cos 30° = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\). Найдем HM: \(HM = AM - AH = \frac{20\sqrt{3}}{3} - 10\sqrt{3} = \frac{20\sqrt{3} - 30\sqrt{3}}{3} = -\frac{10\sqrt{3}}{3}\). Так как расстояние не может быть отрицательным, то HM = \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\). Ответ: Высота равна 10, расстояние равно \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).