1127. Докажите, что все точки графика функции, заданной фор- мулой у = -x2 – 6x – 11, расположены в нижней полуплос- кости.

Ответ: Все точки графика функции y = -x² - 6x - 11 расположены в нижней полуплоскости.

1. Шаг 1: Преобразование функции к виду выделения полного квадрата

   Преобразуем функцию y = -x² - 6x - 11, выделив полный квадрат:

   y = -(x² + 6x) - 11

   y = -(x² + 6x + 9 - 9) - 11

   y = -((x + 3)² - 9) - 11

   y = -(x + 3)² + 9 - 11

   y = -(x + 3)² - 2

2. Шаг 2: Анализ полученной функции

   Теперь функция имеет вид y = -(x + 3)² - 2

   Выражение (x + 3)² всегда неотрицательно, так как это квадрат.

   Умножение на -1 делает его неположительным: -(x + 3)² ≤ 0

   Вычитание 2 делает все выражение отрицательным: -(x + 3)² - 2 ≤ -2

   Таким образом, y ≤ -2 для любого x.

3. Шаг 3: Вывод

   Так как y всегда меньше или равно -2, график функции всегда расположен ниже оси x.

   Следовательно, все точки графика функции расположены в нижней полуплоскости.

Ответ: Все точки графика функции y = -x² - 6x - 11 расположены в нижней полуплоскости.