7. Докажите, что выражение л² - 6х + 13 принимает положительные значения при всех значениях х.

Решение: Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: \(x^2 - 6x + 13 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 13 = (x - 3)^2 - 9 + 13 = (x - 3)^2 + 4\) Так как \((x - 3)^2\) всегда неотрицательно (квадрат любого числа больше или равен нулю), то \((x - 3)^2 + 4\) всегда больше или равно 4, а значит, всегда положительно. Ответ: Выражение \(x^2 - 6x + 13\) принимает положительные значения при всех значениях x, так как оно равно \((x - 3)^2 + 4\), где \((x - 3)^2 \geq 0\), следовательно, \((x - 3)^2 + 4 \geq 4 > 0\).