Докажите, что является иррациональным числом: а) √2 + √5; б) √5 − √3; в) √7 + √6 + 1; г) √[часть выражения обрезана].

а) Предположим, что \(\sqrt{2}+\sqrt{5}\) рационально. Тогда его квадрат также рационален, но \((\sqrt{2}+\sqrt{5})^2=7+2\sqrt{10}\). Это означало бы, что \(\sqrt{10}\) рационально, что неверно. Значит, \(\sqrt{2}+\sqrt{5}\) иррационально.

б) Если бы \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) было рационально, то рациональным был бы и его квадрат: \((\sqrt{5}-\sqrt{3})^2=8-2\sqrt{15}\). Тогда \(\sqrt{15}\) оказалось бы рациональным — противоречие. Следовательно, число иррационально.

в) Предположим, что \(\sqrt{7}+\sqrt{6}+1\) рационально. Тогда \(q=\sqrt{7}+\sqrt{6}\) рационально. Но \(q^2=13+2\sqrt{42}\), откуда следовало бы, что \(\sqrt{42}\) рационально. Это противоречие, поэтому исходное число иррационально.