Докажите, что заданное неравенство выполняется при любых значениях х: a) x² – 12x + 37 > 0; б) 12x – 12 – 4x² < 0.

• a) $$x^2 - 12x + 37 > 0$$ Выделим полный квадрат: $$x^2 - 12x + 36 + 1 > 0$$ $$(x - 6)^2 + 1 > 0$$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $$(x - 6)^2 \ge 0$$, а значит, $$(x - 6)^2 + 1 \ge 1 > 0$$ при любых значениях x.
• б) $$12x - 12 - 4x^2 < 0$$ $$-4x^2 + 12x - 12 < 0$$ $$4x^2 - 12x + 12 > 0$$ Разделим обе части на 4: $$x^2 - 3x + 3 > 0$$ Выделим полный квадрат: $$x^2 - 3x + \frac{9}{4} + 3 - \frac{9}{4} > 0$$ $$(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$$ Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $$(x - \frac{3}{2})^2 \ge 0$$, а значит, $$(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0$$ при любых значениях x.

Ответ: Неравенства доказаны.